The method of integration can be traced back to the Egyptians, in the Moscow Mathematical Papyrus circa 1800 BC, which gives the formula for finding the volume of a pyramidal frustrum.[1] Greek geometers are credited with a significant use of infinitesimals. Democritus is the first person recorded to consider seriously the division of objects into an infinite number of cross-sections, but his inability to rationalize discrete cross-sections with a cone's smooth slope prevented him from accepting the idea. At approximately the same time, Zeno of Elea discredited infinitesimals further by his articulation of the paradoxes which they create. Antiphon and later Eudoxus are generally credited with implementing the method of exhaustion, which made it possible to compute the area and volume of regions and solids by breaking them up into an infinite number of recognizable shapes. Archimedes developed this method further, while also inventing heuristic methods which resemble modern day concepts somewhat. (See Archimedes' Quadrature of the Parabola and Archimedes on Spheres & Cylinders.) It was not until the time of Newton that these methods were made obsolete. It should not be thought that infinitesimals were put on rigorous footing during this time, however. Only when it was supplemented by a proper geometric proof would Greek Mathematicians accept a proposition as true. (See Archimedes' use of infinitesimals.) The method of exhaustion was rediscovered in China by Liu Hui in the 3rd century AD, who used it to find the area of a circle. It was also used by Zu Chongzhi in the 5th century AD, who used it to find the volume of a sphere.[1]

Related Rate

Example  พิงบันไดยาว 50 ฟุตไว้กับผนังซึ่งตั้งฉากกับพื้นราบ เมื่อดึงบันไดด้านล่างออกห่างจากผนัง ด้วยอัตรา 3 ฟุตต่อนาที จงตอบคำถามต่อไปนี้
  1. ปลายบันไดที่พิงกับผนัง จะเคลื่อนที่ลงมาตามผนังด้วยความเร็วเท่าใด เมื่อด้านล่างของบันไดอยู่ห่างจากผนัง 14 ฟุต
  2. เมื่อใดที่ปลายบันไดด้านบน และบันไดด้านล่างจะเคลื่อนที่ ด้วยอัตราเดียวกัน
  3. เมื่อใดปลายบันไดด้านบน จะเคลื่อนลงมาตามผนังกำแพง ด้วยอัตรา 4 ฟุตต่อนาที
  • วาดรูปที่ได้จากโจทย์หลักก่อน จะได้รู้ว่ามีข้อมูลอะไรบ้าง
  • โจทย์บอก
    1. z=50
  • วาดรูปจากโจทย์ข้อ 1.
  • โจทย์ถาม เมื่อ y=14
  • ตลอดทั้งสมการ
  • เพราะว่าความยาวบันได คงที่ ยึดและหดไม่ได้
  • ย้ายข้างสมการนิดหน่อย
  • ตัด 2 ทิ้ง (เกะกะ)
  • เอาสิ่งที่โจทย์ถามมาไ้ว้ข้างซ้ายจะได้ดูง่ายๆ
  • รู้ y (ดูจากรูปที่วาด)
  • รู้ (ดูจากรูปที่วาดเหมือนกัน)
  • แต่ไม่รู้ค่า x ต้องหาเพิ่ม โดยหาจากรูปสามเหลี่ยมข้างล่าง

  • หมายเหตุ
    เรารู้ค่า z ตั้งแต่แรกอยู่แล้ว เพราะอย่างที่บอกว่าบันไดไม่ยึดไม่หด
  • ถ้าเครื่องหมายเป็นลบ (-) แล้วเป็นแกน y ต้องตอบ เลื่อนลง
    ถ้าเครื่องหมายเป็นบวก (+) แล้วเป็นแกน y ต้องตอบ เลื่อนขึ้น
ตอบ เลื่อนลงด้วยอัตราเร็ว ฟุต/นาที
  • วาดรูปจากโจทย์ข้อ 2.
  • ตลอดทั้งสมการ
  • โจทย์บอกว่า "ปลายบันไดด้านบนและบันไดด้านล่างจะเคลื่อน ที่ด้วยอัตราเดียวกัน" หมายความว่า ทำให้สามารถตัดได้เพราะเท่ากัน
  • เนื่องจากค่า x, y เป็นความยาวจึงไม่จำเป็นต้องสนใจเรื่องของเครื่องหมาย เพราะ ความยาวไม่มีติดลบอยู่แล้ว
ตอบ เมื่อ x เท่ากับ y
  • วาดรูปจากโจทย์ข้อ 3.
  • ตลอดทั้งสมการ
  • แทนค่า และ เพราะโจทย์บอกมาอยู่แล้ว
(เก็บสมการนี้ไว้ก่อน)
  • มีสองตัวแปรคือ x, y ที่ยังไม่รู้ค่าจึงต้องหาอีกสมการ มาช่วย
  • มีสามเหลี่ยมไว้ทำไมละคราบ ต้องเอามาช่วยแล้ว
(ได้อีกสมการมาช่วยแล้ว)
  • มีอยู่สองสมการแล้วคือ
    --------------- สมการที่ 1
    --------------- สมการที่ 2
  • นำสมการที่ 1 แทนค่าในสมการที่ 2
  • เหลือแต่ตัวแปร y ตัวเดียวแล้ว สบายมาก...
  • เมื่อรู้ค่า y แ้ล้ว ก็นำค่า y ไปแทนในสมการเพื่อหาค่า x ที่จริงจะเลือกสมการไหนก็ได้ระหว่างสมการ 1, 2 เพราะว่าคำตอบจะต้องออกมาเท่ากันอยู่แล้ว แต่จะลองทำด้วย สมการ 1 เพื่อหาค่า x ให้ดู
ตอบ เมื่อ x=40 ฟุต และ y=30 ฟุต
Other Questions
ดาดฟ้าของเรือลำหนึ่ง อยู่ต่ำกว่าระดับอู่เรือ 12 ฟุต ลากเรือลำนี้เข้าหาอู่ โดยใช้สายเคเบิ้ลคล้องกับ ลูกรอกที่ติดอยู่ที่พื้นของอู่เรือ และดึงสายเคเบิ้ลนี้ด้วยเครื่องดึง ซึ่ง ตั้งอยู่บนดาดฟ้าเรือด้วยความเร็ว 8 ฟุตต่อวินาที จงหาความเร็วของเรือ ขณะที่เคลื่อนที่เข้าหาอู่และเรืออยู่ห่างจากอู่ 18 ฟุต
ด้านของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามีความเร็วเพิ่มขึ้นด้วยอัตรา k นิ้วต่อชั่วโมง จงหาอัตราการเพิ่มของพื้นที่ ของสามเหลี่ยมนี้ ขณะที่ความยาวของด้านเป็น a นิ้ว
เส้นผ่านศูนย์กลางและความสูงของทรงกระบอกตรง ณ เวลา t ใดๆ เป็น x นิ้ว และ h นิ้วตามลำดับ (t มีหน่วยเป็นนาที) ถ้าในขณะที่ x = 10 นิ้ว และ h = 20 นิ้ว ความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางเพิ่มขึ้น ด้วยอัตรา 1 นิ้วต่อนาที จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของความสูง ที่ทำให้ปริมาตรของทรงกระบอกมีค่าคงตัว
ทรายไหลลงมากองเป็นรูปกรวยด้วยอัตรา 0.27 ลูกบาศก์นิ้วต่อนาที ถ้ารัศมีของฐานกรวยเท่ากับครึ่งหนึ่งของ ความสูงตลอดเวลา แล้วความสูงของกรวยจะเพิ่มขึ้นด้วยอัตราเท่าไร ขณะที่ความสูงของกองทรายเท่ากับ 1.5 นิ้ว
ถ้วยกระดาษรูปกรวยตรงมีรัศมีและความสูงเป็น 2 นิ้วและ 6 นิ้ว ตามลำดับ ถ้าน้ำรั่วออกจากถ้วยด้วยอัตราคงที่ 1 ลูกบาศก์นิ้วต่อนาที อยากทราบว่าระดับน้ำจะลดลงด้วยอัตราเท่าไร เมื่อความสูงของผิวน้ำเป็น 3 นิ้ว
บอลลูนกำลังลอยสูงขึ้นไปในแนวดิ่ง จากพื้นราบด้วยอัตราเร็วคงตัว 2 เมตรต่อนาที ีขณะที่บอลลูนอยู่สูงจากพื้นดิน 38 เมตร รถยนต์คันหนึ่งแล่นในแนวเส้นตรง ผ่านใต้บอลลูนด้วยอัตราคงตัว 30 เมตรต่อนาที เมื่อเวลาผ่านไป 1 นาที ระยะห่างระหว่างบอลลูนกับรถยนต ์เปลี่ยนแปลงด้วยอัตราเร็วเท่าไร
Author: Surachai U.
Created Date: 2007-03-03 03:03:03
Last Update: 2007-06-16 23:24:41

In differential calculus, related rates problems involve finding the rate at which a quantity is changing by relating that quantity to other quantities whose rates of change are known. The rate of change is usually with respect to time.