The method of integration can be traced back to the Egyptians, in the Moscow Mathematical Papyrus circa 1800 BC, which gives the formula for finding the volume of a pyramidal frustrum.[1] Greek geometers are credited with a significant use of infinitesimals. Democritus is the first person recorded to consider seriously the division of objects into an infinite number of cross-sections, but his inability to rationalize discrete cross-sections with a cone's smooth slope prevented him from accepting the idea. At approximately the same time, Zeno of Elea discredited infinitesimals further by his articulation of the paradoxes which they create. Antiphon and later Eudoxus are generally credited with implementing the method of exhaustion, which made it possible to compute the area and volume of regions and solids by breaking them up into an infinite number of recognizable shapes. Archimedes developed this method further, while also inventing heuristic methods which resemble modern day concepts somewhat. (See Archimedes' Quadrature of the Parabola and Archimedes on Spheres & Cylinders.) It was not until the time of Newton that these methods were made obsolete. It should not be thought that infinitesimals were put on rigorous footing during this time, however. Only when it was supplemented by a proper geometric proof would Greek Mathematicians accept a proposition as true. (See Archimedes' use of infinitesimals.) The method of exhaustion was rediscovered in China by Liu Hui in the 3rd century AD, who used it to find the area of a circle. It was also used by Zu Chongzhi in the 5th century AD, who used it to find the volume of a sphere.[1]

Related Rate

Example  บอลลูนกำลังลอยสูงขึ้นไปในแนวดิ่ง จากพื้นราบด้วยอัตราเร็วคงตัว 2 เมตรต่อนาที ีขณะที่บอลลูนอยู่สูงจากพื้นดิน 38 เมตร รถยนต์คันหนึ่งแล่นในแนวเส้นตรง ผ่านใต้บอลลูนด้วยอัตราคงตัว 30 เมตรต่อนาที เมื่อเวลาผ่านไป 1 นาที ระยะห่างระหว่างบอลลูนกับรถยนต ์เปลี่ยนแปลงด้วยอัตราเร็วเท่าไร
  • เห็นรูปสามเหลี่ยม แสดงว่าต้องใช้สูตรมาตราฐาน
  • โจทย์บอก
    1. เมตร/นาที
    2. y=38 เมตร
    3. เมตร/นาที
  • โจทย์ถาม
    เมื่อเวลาผ่านไป 1 นาที่ เท่ากับเท่าไร จากที่โจทย์ถาม เหมือนกับว่าโจทย์บอกรายละเอียดเพิ่มอีก 2 อย่างคือ
    1. เมื่อผ่านไป 1 นาทีหมายความว่า x จะเพิ่มขึ้นอีก 30 เมตร
    2. เมื่อผ่านไป 1 นาทีหมายความว่า y จะเพิ่มขึ้นอีก 2 เมตร
  • เพราะฉะันั้นโจทย์บอกทั้งหมด 4 อย่างคือ
    1. เมตร/นาที
    2. เมตร/นาที
    3. x=30 เมตร เมื่อเวลาผ่านไป 1 นาที
    4. y=38+2=40 เมตร เมื่อเวลาผ่านไป 1 นาที
  • ตลอดสมการ
  • ย้ายฝั่งสมการ นำสิ่งที่โจทย์ต้องการมาไว้ทางซ้าย
  • ก่อนจะแทนค่าเราไม่รู้ค่า z แค่ค่าเดี่ยวแต่หาง่ายมาก จากสามเหลี่ยมข้างล่าง
ตอบ อัตราการเปลี่ยนแปลง z เพิ่มขั้น 19.6 เมตร/นาที
Other Questions
ดาดฟ้าของเรือลำหนึ่ง อยู่ต่ำกว่าระดับอู่เรือ 12 ฟุต ลากเรือลำนี้เข้าหาอู่ โดยใช้สายเคเบิ้ลคล้องกับ ลูกรอกที่ติดอยู่ที่พื้นของอู่เรือ และดึงสายเคเบิ้ลนี้ด้วยเครื่องดึง ซึ่ง ตั้งอยู่บนดาดฟ้าเรือด้วยความเร็ว 8 ฟุตต่อวินาที จงหาความเร็วของเรือ ขณะที่เคลื่อนที่เข้าหาอู่และเรืออยู่ห่างจากอู่ 18 ฟุต
พิงบันไดยาว 50 ฟุตไว้กับผนังซึ่งตั้งฉากกับพื้นราบ เมื่อดึงบันไดด้านล่างออกห่างจากผนัง ด้วยอัตรา 3 ฟุตต่อนาที จงตอบคำถามต่อไปนี้
  1. ปลายบันไดที่พิงกับผนัง จะเคลื่อนที่ลงมาตามผนังด้วยความเร็วเท่าใด เมื่อด้านล่างของบันไดอยู่ห่างจากผนัง 14 ฟุต
  2. เมื่อใดที่ปลายบันไดด้านบน และบันไดด้านล่างจะเคลื่อนที่ ด้วยอัตราเดียวกัน
  3. เมื่อใดปลายบันไดด้านบน จะเคลื่อนลงมาตามผนังกำแพง ด้วยอัตรา 4 ฟุตต่อนาที
ด้านของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามีความเร็วเพิ่มขึ้นด้วยอัตรา k นิ้วต่อชั่วโมง จงหาอัตราการเพิ่มของพื้นที่ ของสามเหลี่ยมนี้ ขณะที่ความยาวของด้านเป็น a นิ้ว
เส้นผ่านศูนย์กลางและความสูงของทรงกระบอกตรง ณ เวลา t ใดๆ เป็น x นิ้ว และ h นิ้วตามลำดับ (t มีหน่วยเป็นนาที) ถ้าในขณะที่ x = 10 นิ้ว และ h = 20 นิ้ว ความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางเพิ่มขึ้น ด้วยอัตรา 1 นิ้วต่อนาที จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของความสูง ที่ทำให้ปริมาตรของทรงกระบอกมีค่าคงตัว
ทรายไหลลงมากองเป็นรูปกรวยด้วยอัตรา 0.27 ลูกบาศก์นิ้วต่อนาที ถ้ารัศมีของฐานกรวยเท่ากับครึ่งหนึ่งของ ความสูงตลอดเวลา แล้วความสูงของกรวยจะเพิ่มขึ้นด้วยอัตราเท่าไร ขณะที่ความสูงของกองทรายเท่ากับ 1.5 นิ้ว
ถ้วยกระดาษรูปกรวยตรงมีรัศมีและความสูงเป็น 2 นิ้วและ 6 นิ้ว ตามลำดับ ถ้าน้ำรั่วออกจากถ้วยด้วยอัตราคงที่ 1 ลูกบาศก์นิ้วต่อนาที อยากทราบว่าระดับน้ำจะลดลงด้วยอัตราเท่าไร เมื่อความสูงของผิวน้ำเป็น 3 นิ้ว
Author: Surachai U.
Created Date: 2007-03-03 03:03:03
Last Update: 2007-06-16 23:26:46

Comment: 4

ขอบคุณมากๆน่ะคับ
ดีมากๆ

nine
2009-07-13 03:18:18

Comment: 3

ถ้ามีปัญหาอะไรเดี๋ยว Ani จะมาฝากไว้นะคะ ขอบคุณค่ะ

Ani
2008-09-19 00:59:10

Comment: 2

อ้อ แล้วก็เรื่องตัวอย่างก็หลายหลายดีค่ะ ไม่ยาก ไม่ง่ายเกินไป
ทำให้เข้าใจเป็นขั้นตอน

แต่อยากจะฝากปัญหาอะไรไว้สักหน่อยนะคะ
คือว่า...
เรื่อง Extreme Values น่ะค่ะช่วยเอามาลงในนี้ก็จะเป็นการดีอย่างยิ่งนะคะ เพราะกำลังจะสอบเรื่องนี้ แล้วยังไม่ค่อยเข้าใจเลยค่ะ ถ้าเอามาลงให้ก็จะเป็นพระคุณอย่างสูงค่า
ขอบคุณล่วงหน้านะคะ

Ani
2008-09-19 00:58:12

Comment: 1

เป็นเว็บไซดท์ที่ดี มาก ๆ ๆ ๆจิง ๆ เรยค่ะ
ก็กำลังปวดหัวเรื่องวิธีคิด แต่พอได้ลองเข้ามาในเว็บไซท์นี้
เข้าใจทันทีเลยค่ะ อธิบายละเอียดดีค่ะ เข้าใจง่าย ดีจิง ๆ เลยค่ะ ขอชื่นชม
เป็นเหมือนฟางเส้นสุดท้าย จิง ๆค่ะ ก็ทำงานไม่รู้ว่าจะถามใคร ก็ได้เว็บไซท์นี้แหละช่วยไว้

Ani
2008-09-19 00:55:17

In differential calculus, related rates problems involve finding the rate at which a quantity is changing by relating that quantity to other quantities whose rates of change are known. The rate of change is usually with respect to time.