The method of integration can be traced back to the Egyptians, in the Moscow Mathematical Papyrus circa 1800 BC, which gives the formula for finding the volume of a pyramidal frustrum.[1] Greek geometers are credited with a significant use of infinitesimals. Democritus is the first person recorded to consider seriously the division of objects into an infinite number of cross-sections, but his inability to rationalize discrete cross-sections with a cone's smooth slope prevented him from accepting the idea. At approximately the same time, Zeno of Elea discredited infinitesimals further by his articulation of the paradoxes which they create. Antiphon and later Eudoxus are generally credited with implementing the method of exhaustion, which made it possible to compute the area and volume of regions and solids by breaking them up into an infinite number of recognizable shapes. Archimedes developed this method further, while also inventing heuristic methods which resemble modern day concepts somewhat. (See Archimedes' Quadrature of the Parabola and Archimedes on Spheres & Cylinders.) It was not until the time of Newton that these methods were made obsolete. It should not be thought that infinitesimals were put on rigorous footing during this time, however. Only when it was supplemented by a proper geometric proof would Greek Mathematicians accept a proposition as true. (See Archimedes' use of infinitesimals.) The method of exhaustion was rediscovered in China by Liu Hui in the 3rd century AD, who used it to find the area of a circle. It was also used by Zu Chongzhi in the 5th century AD, who used it to find the volume of a sphere.[1]

Sketch a graph

Example  วาดกราฟ
  • พิจารณาลักษณะสมมาตร
    1. สมมาตรกับแกน x
    2. สมมาตรกับแกน y
    3. สมมาตรกับจุดกำเนิด
  • สมมาตรกับแกน x : แทนค่า x เท่ากับ -x ในสมการแล้ว สมการคงเดิม
    สมการเหมือนเดิมเดะ
  • สมมาตรกับแกน y : แทนค่า y เท่ากับ -y ในสมการแล้ว สมการคงเดิม
    สมการไม่เหมือนเดิมแล้วแหละ
  • สมมาตรกับจุดกำเนิด : แทนค่า x เท่ากับ -x และ y เท่ากับ -y แล้วสมการคงเดิม
    สมการไม่เหมือนเดิม
สมการนี้สมมาตรกับแกน x เท่านั้น
  • หาจุดตัดแกน x (x-intercepts) โดยให้แทนค่า y=0



  • หาจุดตัดแกน y (y-intercepts) โดยให้แทนค่า x=0

  • หาเส้นกำกับแนวราบ (Horizontal Asymptote)
  • เส้นกำกับแนวราบคือ y=L
    (ใ้ห้ take limit เข้าใกล้ infinity ทั้งทางบวก, ลบ โดยค่า L จะเป็นเส้นกำกับแนวราบ)
  • Take limit infinity ทางบวก
  • Take limit infinity ทางลบ
เส้นกำกับแนวราบคือ y=2
  • หาเส้นกำกับแนวดิ่ง (Vertical Asymptote)
  • คือหาค่า x ที่ทำให้ส่วนเป็น 0 (จับส่วนเท่าักับ 0 อะง่ายๆ)


  • หา First Derivative ก่อน
  • ต่อไปก็หา Second Derivative
  • เอาข้างบนมา ดิฟ ต่อเท่านั้นแหละ (ใช้ดิฟผลหารนะ)
  • หมายเหตุ โจทย์เรื่องวาดกราฟนี่ ผมจะไม่เน้นการอธิบายเรื่อง การดิฟ อย่างละเอียดนะครับ โดยจะละไว้ในฐานที่เข้าใจว่า มีทักษะ เรื่อง derivative มาในระดับนึงแล้ว
  • พักก่อนแป๊บนึง
  • ก่อนที่จะมาลุยกันต่อ ให้เรามาสรุปกันก่อนดีกว่าว่าตอนนี้ เรามีอะไรอยู่บ้าง
  1. สมมาตรกับแกน x
  2. จุดตัดแกน x คือ x=2, -2
  3. จุดตัดแกน y คือ y=1/2
  4. เส้นกำกับแนวราบคือ y=2
  5. เส้นกำกับแนวดิ่งคือ x=4, -4
  • ต่อไปที่ต้องทำคือ นำข้อ 6-8 มาหา คุณลักษณะของกราฟ แต่ละช่วงต่อไป
  • เริ่มที่ ก่อน
  • หาค่า x ที่ทำให้สมการเท่ากับ 0, ค่า x ที่ทำให้สมการ หาค่าไม่ได้





  • (ค่า x ที่ทำให้สมการ เท่ากับ 0, แก้สมการหาค่า x เฉยๆ)




  • (ค่า x ที่ทำให้สมการเป็น ตี้ คือ x ที่ทำให้ส่วน เท่ากับ 0)
ค่า x ที่ต้องการคือ x=2, -2, 4, -4
เส้นตรงของ y
  • จากเส้นตรงข้างบน จะเห็นว่ามี ช่วงที่ต้องนำมาคิดอยู่ 5 ช่วงด้วยกันคือ
    1. -infinity, -4
    2. -4, -2
    3. -2, 2
    4. 2, 4
    5. 4, infinity
  • ที่ต้องทำคือ หาเครื่องหมาย ประจำแต่ละช่วง
  • ยกตัวอย่างช่วง -2, 2 ให้ดูละกัน
    ก็ลองสุ่มค่า x ระหว่าง -2, 2 ที่คิดว่าแทนในสมการ แล้วหาค่า y ได้ง่ายที่สุด ในที่นี้ผมเลือก 0 ละกัน, เมื่อ x=0 จะได้ y=1/2 ซึ่งเป็นค่าบวก, เพราะฉะนั้นเครื่องหมายประจำช่วง ของ -2, 2 คือ เครื่องหมาย บวก
เส้นตรงของ y
  • เครื่องหมายแต่ละช่วงของ สมการ สมการบอกอะไรเรา เกี่ยวกับการวาดกราฟได้บ้าง
  • ถ้าเป็น บวก กราฟก็จะอยู่บน (มีค่า y เป็นบวก)
  • ถ้าเป็น ลบ กราฟก็จะอยู่ล่าง (มีค่า y เป็น ลบ)
  • เสร็จไปหนึ่ง
  • ต่อไปต้องหา เครื่องหมายประจำช่วง ของสมการ
  • ค่า x ที่ทำให้สมการเท่ากับ 0 คือ x=0
  • ค่า x ที่ทำให้สมการหาค่าไม่ได้คือ x=4, -4
  • เพราะฉะนั้น มีอยู่ 4 ช่วงด้วยกันที่ต้องหา เครื่องหมายประจำช่วง
    1. -infinity, -4
    2. -4, 0
    3. 0, 4
    4. 4, infinity
  • การทำแต่ละช่วง ก็เหมือนข้างบนอะครับ คือสุ่มหาค่า x ในช่วงนั้นๆมาค่านึง ซึ่งเป็นค่าที่คิดว่าแทนในสมการ แล้วสามารถบอกได้ว่า ผลที่ได้เป็นบวก, ลบ เท่านั้นแหละ
เส้นตรงของ y'
  • เครื่องหมายแต่ละช่วงของสมการ
    บอกอะไรเราบ้าง
  • ถ้าเป็น บวก เป็น function เพิ่ม
  • ถ้าเป็น ลบ เป็น function ลด
  • เสร็จไปอีกหนึ่ง
  • ต่อไป หาเครื่องหมายประจำช่วง ของสมการ
  • ค่า x ที่ทำให้สมการเท่ากับ 0 คือ ไม่มี
  • ค่า x ที่ทำให้สมการหาค่าไม่ได้ คือ x=4, -4
  • เพราะฉะนั้นมีที่ต้องคิดอยู่ 3 ช่วงคือ
    1. -infinity, -4
    2. -4, 4
    3. 4, infinity
เส้นตรงของ y''
  • เครื่องหมายแต่ละช่วงของสมการ บอกอะไรเราบ้าง
  • ถ้าเป็น บวก เป็น กราฟหงาย
  • ถ้าเป็น ลบ เป็น กราฟคว่ำ
  • เอา 3 เส้นที่ได้มารวมกัน ให้เห็นชัดๆดีกว่า
  • จากที่สรุปไปตอนแรก ที่นำ 6-7 มาทำต่อก็คือต้องการ ให้ได้รูปนี้แหละ
  • สรุปแยกเป็นช่วงๆ ได้ด้งนี้
  • หาจุดสูงสุดสัมพัทธ์, ต่ำสุดสัมพัทธ์, จุดเปลี่ยนเว้า
  • จุดสูงสุดสัมพัทธ์

  • จุดต่ำสุดสัมพัทธ์
  • จุดเปลี่ยนเ้้ว้า (เปลี่ยนจาก คว่ำเป็นหงาย หรือ หงายเป็นคว่ำ ก็ได้เหมือนกัน)
  • จุด สูงสุดสัมพัทธ์, ต่ำสุดสัมพัทธ์
  • ให้สนใจค่า x ที่ทำให้ y' เท่ากับ 0
  • แต่จะรู้ได้ไงว่าเ็ป็น สูงสุด, ต่ำสุด สัมพัทธ์
  • ต้องเอา x ที่ทำให้ y' เท่ากับ 0 มาแทนค่าใน y''
    1. ถ้า ได้ค่า มากกว่า 0 เป็น ต่ำสุดสัมพัทธ์
    2. ถ้า ได้ค่า น้อยกว่า 0 เป็น สูงสุดสัมพัทธ์
  • ค่า x ที่ต้องการคือ x=0
  • แต่ยังไม่รู้ว่าเป็น สูงสุด หรือ ต่ำสุด สัมพัทธ์ เพราะฉะนั้นต้อง ตรวจสอบ
  • รู้แล้วว่าเป็น สูงสุดสัมพัทธ์ ที่ x=0 แต่เวลาจะเอาไป plot graph ต้องรู้ค่า y ด้วย เพราะงั้นหาค่า y ก่อนดีกว่า หาโดยนำ x ไปแทนค่าในโจทย์นั้นเอง
เป็นจุด สูงสุดสัมพัทธ์
  • ต่อไปหา จุดเปลี่ยนเว้า
  • ให้สนใจค่า x ที่ทำให้ y'' เท่ากับ 0
  • แต่ดูจากรูปข้างบนแล้ว ไม่มีนิหว่า
  • เพราะฉะนั้น ไม่มีจุดเปลี่ยนเว้า หนะข้อนี้
  • หลักๆที่ต้องรู้ต่อไปคือ ลักษณะกราฟ ซึ่งจริงๆแล้วก็มีแค่ 4 อันนี่แหละ
    1. เพิ่ม, หงาย กราฟเป็นงี้
    2. เพิ่ม, คว่ำ กราฟเป็นงี้
    3. ลด, หงาย กราฟเป็นงี้
    4. ลด, คว่ำ กราฟเป็นงี้
  • ได้สิ่งที่ต้องการครบแล้ว
  • สรุป สุดท้ายก่อนจะลงมือ plot graph
    1. สมมาตรกับแกน x
    2. จุดตัดแกน x คือ x=2, -2
    3. จุดตัดแกน y คือ y=1/2
    4. เส้นกำกับแนวราบคือ y=2
    5. เส้นกำกับแนวดิ่งคือ x=4, -4
    6. (1, 1/2) เป็น จุดสูงสุดสัมพัทธ์
    7. ไม่มี จุดเปลี่ยนเว้า
  • จาเริ่ม plot graph แล้ว หน่าคราบ
  • เอาที่สรุปไว้ตั้งแต่ข้อ 1-5 และ 7, 8 มา plot ก่อนเลย
  • เอาช่วงที่ 1 คือ -infinity, -4 มา plot graph
  • ช่วงนี้เป็น เพิ่ม, หงาย ต้องเป็นรูปนี้
  • และต้องอยู่ เหนือ แกน x (y เป็นค่าบวก)
  • เอาช่วงที่ 2 คือ -4, -2 มา plot graph
  • ช่วงนี้เป็น เพิ่ม, คว่ำ ต้องเป็นรูปนี้
  • และต้องอยู่ ใต้ แกน x (y เป็นค่าลบ)
  • เอาช่วงที่ 3 คือ -2, 0 มา plot graph
  • ช่วงนี้เป็น เพิ่ม, คว่ำ ต้องเป็นรูปนี้
  • และต้องอยู่ เหนือ แกน x (y เป็นค่าบวก)
  • เอาช่วงที่ 4 คือ 0, 2 มา plot graph
  • ช่วงนี้เป็น ลด, คว่ำ ต้องเป็นรูปนี้
  • และต้องอยู่ เหนือ แกน x (y เป็นค่าบวก)
  • เอาช่วงที่ 5 คือ 2, 4 มา plot graph
  • ช่วงนี้เป็น ลด, คว่ำ ต้องเป็นรูปนี้
  • และต้องอยู่ ใต้ แกน x (y เป็นค่าลบ)
  • เอาช่วงที่ 6 คือ 4, infinity มา plot graph
  • ช่วงนี้เป็น ลด, หงาย ต้องเป็นรูปนี้
  • และต้องอยู่ เหนือ แกน x (y เป็นค่าบวก)
  • เสร็จแล้ว ได้กราฟออกมาดังรูป
  • เพิ่มเติมให้นิดหน่อย บางคนอาจเห็นไม่ชัดในช่วง -2,0 และ 0, 2 เดี่ยวจะ zoom ให้ดู แบบชัดๆเลยละกัน
Other Questions
วาดกราฟ
Author: Surachai U.
Created Date: 2007-07-08 13:24:00
Last Update: 2007-08-07 01:52:31

Comment: 13

ผลอยากรู้ว่าจุดเปลี่ยนเว้าทางคณิตคือะไร
และจุดเปลี่ยนเว้าทางฟิสิกส์คืออะไร
ตอบหน่อยน๊ะ

กัน
2009-06-29 02:15:42

Comment: 12

้ต้องลอง diff ดูก่อนนะ มองด้วยตาคราวๆไม่ได้ครับ
ใบ้ให้หน่อย อาจจะมีอะไรที่สามารถตัดบนและล่างได้ก็ได้ ใครจะไปรู้เนอะ
ลองทำดูครับ

Surachai U.
2009-02-18 15:05:58

Comment: 11

สงสัยค่ะ
ตอนอนุพันธ์อันดับสอง
ตัวส่วนต้องเป็น (x^2-16)^4
ไม่ใช่หรอคะ
เพราะดิฟผลหาร ส่วนล่างกำลังสอง นิน่า
รึหนูเข้าใจผิด

Engineering@SUT
2009-02-15 16:36:12

Comment: 10

อยากทราบว่ารูป กราฟเต็มๆของ
f(x)
f''(x)
f'"(x)
มีความสัมพันธ์กันมั้ยครับ

yai zaa
2008-07-07 23:52:29

Comment: 9

บอกใบ้ให้นิดนึง ใช่สูตร div ผลหาร หนะครับ
ล่างดิฟบน - บนดิฟล่าง ส่วนล่างกำลังสอง

Surachai U.
2008-06-29 01:00:09

Graphs are represented graphically by drawing a dot for every vertex, and drawing an arc between two vertices if they are connected by an edge. If the graph is directed, the direction is indicated by drawing an arrow. A graph drawing should not be confused with the graph itself (the abstract, non-graphical structure) as there are several ways to structure the graph drawing. All that matters is which vertices are connected to which others by how many edges and not the exact layout. In practice it is often difficult to decide if two drawings represent the same graph. Depending on the problem domain some layouts may be better suited and easier to understand than others.