The method of integration can be traced back to the Egyptians, in the Moscow Mathematical Papyrus circa 1800 BC, which gives the formula for finding the volume of a pyramidal frustrum.[1] Greek geometers are credited with a significant use of infinitesimals. Democritus is the first person recorded to consider seriously the division of objects into an infinite number of cross-sections, but his inability to rationalize discrete cross-sections with a cone's smooth slope prevented him from accepting the idea. At approximately the same time, Zeno of Elea discredited infinitesimals further by his articulation of the paradoxes which they create. Antiphon and later Eudoxus are generally credited with implementing the method of exhaustion, which made it possible to compute the area and volume of regions and solids by breaking them up into an infinite number of recognizable shapes. Archimedes developed this method further, while also inventing heuristic methods which resemble modern day concepts somewhat. (See Archimedes' Quadrature of the Parabola and Archimedes on Spheres & Cylinders.) It was not until the time of Newton that these methods were made obsolete. It should not be thought that infinitesimals were put on rigorous footing during this time, however. Only when it was supplemented by a proper geometric proof would Greek Mathematicians accept a proposition as true. (See Archimedes' use of infinitesimals.) The method of exhaustion was rediscovered in China by Liu Hui in the 3rd century AD, who used it to find the area of a circle. It was also used by Zu Chongzhi in the 5th century AD, who used it to find the volume of a sphere.[1]

Integration by part

Example  Find
  • โจทย์เรื่อง อินทริเกรต By part นั้นข้อสำคัญอยู่ทีการเลือก u และ dv
  • สูตร
  • จากโจทย์ต้องกำหนดให้อะไรเป็น u และ อะไรเป็น dv เพื่อนำมาเข้าสูตรที่กำหนด
 
  • เพราะฉะนั้น u = lnx และ dv = dx
  • ในสูตรที่กำหนดให้เราต้องรู้ du และ v ด้วย ทำไงดีละเนี่ย
  • ไม่เป็นไร ทุกอย่างมีทางออกของมันอยู่แล้ว
 
 
 
 
  • เห็นปะ ได้ du มาและ
  • เหลือ v ที่ยังต้องหาต่อไป
 
 
  • ใส่ integrate เข้าไปทั้งสองฝั่ง
  • integrate ชนกับ div ก็หายไปทั้งคู่
  • ได้ v ที่ต้องการมาและ
 
  • ตอนแรกเรามีแค่ u, dv
  • แต่ต้องมี du ด้วย (เพราะฉะนั้นต้องเอา u มา ดิฟ)
  • ต้องการ v ด้วย (ก็เอา dv มา อินทริเกรต ไง)
  • มาสรุปกันก่อนดีกว่าว่าตอนนี้มีอะไรอยู่ในมือบ้าง
    1. u = ln x
    2. v = x
    3. dv = dx
 
  • เข้าสูตร
 
  • เสร็จแล้ว ...
  • แต่จะรู้ได้ไงอะว่า ที่ทำไปถูกหรือเปล่า
  • ยังงี้ก็ต้องตรวจสอบ
  • ง่ายๆ นะก็ลอง ดิฟ คำตอบดูซิ ถ้าได้ ln x ก็... ถูกต้องนะคราบบบบบบบบบบ
 
  • ดิฟ (x)(ln x) ต้องใช้ ดิฟผลคูณ นะครับ อย่างลืม
 
Other Questions
หาค่า
หาค่า
หาค่า
หาค่า
หาค่า
หาค่า
Author: Surachai U.
Created Date: 2007-08-05 19:46:00
Last Update: 2007-08-12 22:57:59

In calculus, and more generally in mathematical analysis, integration by parts is a rule that transforms the integral of products of functions into other, possibly simpler, integrals. The rule arises from the product rule of differentiation.