The method of integration can be traced back to the Egyptians, in the Moscow Mathematical Papyrus circa 1800 BC, which gives the formula for finding the volume of a pyramidal frustrum.[1] Greek geometers are credited with a significant use of infinitesimals. Democritus is the first person recorded to consider seriously the division of objects into an infinite number of cross-sections, but his inability to rationalize discrete cross-sections with a cone's smooth slope prevented him from accepting the idea. At approximately the same time, Zeno of Elea discredited infinitesimals further by his articulation of the paradoxes which they create. Antiphon and later Eudoxus are generally credited with implementing the method of exhaustion, which made it possible to compute the area and volume of regions and solids by breaking them up into an infinite number of recognizable shapes. Archimedes developed this method further, while also inventing heuristic methods which resemble modern day concepts somewhat. (See Archimedes' Quadrature of the Parabola and Archimedes on Spheres & Cylinders.) It was not until the time of Newton that these methods were made obsolete. It should not be thought that infinitesimals were put on rigorous footing during this time, however. Only when it was supplemented by a proper geometric proof would Greek Mathematicians accept a proposition as true. (See Archimedes' use of infinitesimals.) The method of exhaustion was rediscovered in China by Liu Hui in the 3rd century AD, who used it to find the area of a circle. It was also used by Zu Chongzhi in the 5th century AD, who used it to find the volume of a sphere.[1]

Integration by part

Example  หาค่า
  • Integrate by part ด้วย วิธีลัด
  • ข้อนี้เป็น [ฟังก์ชัน expo] x [ฟังก์ชัน ตรีโกณ]
  • จะไม่เหมือนกับ [ฟังก์ชัน พหุนาม] x [ตรีโกณ หรือ expo] ให้ลืมวิธีเก่าไปได้เลย
  • เริ่มแรกให้จัดรูปเป็นอย่างนี้ก่อน
  • ให้ ฟังก์ชัน expo อยู่ด้านซ้าย และให้ ฟังก์ชัน ตรีโกณ อยู่ด้านขวา
  • อินทริเกรต ตรีโกณ(ด้านขวา) จนกว่าจะได้ตัวเดิม(ไม่สนเครื่องหมาย)
  • ที่บอกว่าต่างก็เริ่มจากตรงนี้แหละ เพราะว่าข้อก่อนหน้า จะเริ่มทำจากด้านซ้ายก่อน แต่ัอัันนี้เริ่มจากด้านขวาก่อน
  • ดิฟ expo(ด้านซ้าย) ให้บรรทัดเท่ากับด้านขวา
  • ต่อไปให้คูณทะแยงลงมาตามเส้นสีแดง
  • ใส่เครื่องหมาย +, - ให้กับผลลัพธ์ ตะกี้ (ใส่สลับกันระหว่าง + กับ - แต่ให้เริ่มที่ + ก่อน)
  • step นี้เป็น step ที่เพิ่มขึ้นมา
  • คูณตามเส้น สีน้ำเงิน แต่ให้ใ่ส่เข้าไปใน Integrate
  • ใส่เครื่องหมาย +, - (หลักการใส่เหมือนปกติที่เคย) แต่อันนี้มีแค่บรรทัดเดียวก็ใส่ + ไปเลย
  • ได้ผลออกมาดังนี้
  • เอาผลที่ได้ออกมารวม เพื่อคิดต่อ
  • ย้ายฝั่ง ด้านขวาไปบวกกับด้านซ้ายของสมการ (เป็นการย้ายฝั่งสมการธรรมดา)
  • ย้าย 2 กลับไปหาร เป็นอันเสร็จเรียบร้อย
  • แต่อย่าลืม บวก c ด้วยหละ
Other Questions
Find
หาค่า
หาค่า
หาค่า
หาค่า
หาค่า
Author: Surachai U.
Created Date: 2007-08-13 15:16:00
Last Update: 2007-08-13 16:44:54

Comment: 6

com

sae
2009-02-16 21:07:26

Comment: 5

แ้ก้แล้วคราบ ขอบคุณมาก

Surachai U.
2008-09-20 23:45:14

Comment: 4

ในวิธีทำแบบลัด[ฟังก์ชัน expo] x [ฟังก์ชัน ตรีโกณก็ อินติเกรตด้านขวานะคะ แต่คำอธิบายตรงหน้าหลัก บอกว่า อินติเกรตด้านซ้าย ช่วยแก้ไขด้วยค่ะ
นี่น่ะค่ะ

ถ้าเป็น [ฟังก์ชัน expo] x [ฟังก์ชัน ตรีโกณ] (แบบที่ 3)
ตั้ง expo ไว้ซ้าย, ตรีโกณ ไว้ขวา
อินทริเกรตด้านซ้ายจนได้ตัวเดิม(ไม่สนเครื่องหมาย)

Ani
2008-09-19 18:04:44

Comment: 3

เข้าใจมากเลย ถ้าไม่มีเธอคงทำไม่ได้ครับ ขอบคุง

นอร์ท
2007-12-17 02:43:35

Comment: 2

ขอบคุณ คับ

vee
2007-09-21 13:01:52

In calculus, and more generally in mathematical analysis, integration by parts is a rule that transforms the integral of products of functions into other, possibly simpler, integrals. The rule arises from the product rule of differentiation.