The method of integration can be traced back to the Egyptians, in the Moscow Mathematical Papyrus circa 1800 BC, which gives the formula for finding the volume of a pyramidal frustrum.[1] Greek geometers are credited with a significant use of infinitesimals. Democritus is the first person recorded to consider seriously the division of objects into an infinite number of cross-sections, but his inability to rationalize discrete cross-sections with a cone's smooth slope prevented him from accepting the idea. At approximately the same time, Zeno of Elea discredited infinitesimals further by his articulation of the paradoxes which they create. Antiphon and later Eudoxus are generally credited with implementing the method of exhaustion, which made it possible to compute the area and volume of regions and solids by breaking them up into an infinite number of recognizable shapes. Archimedes developed this method further, while also inventing heuristic methods which resemble modern day concepts somewhat. (See Archimedes' Quadrature of the Parabola and Archimedes on Spheres & Cylinders.) It was not until the time of Newton that these methods were made obsolete. It should not be thought that infinitesimals were put on rigorous footing during this time, however. Only when it was supplemented by a proper geometric proof would Greek Mathematicians accept a proposition as true. (See Archimedes' use of infinitesimals.) The method of exhaustion was rediscovered in China by Liu Hui in the 3rd century AD, who used it to find the area of a circle. It was also used by Zu Chongzhi in the 5th century AD, who used it to find the volume of a sphere.[1]

Integration by Partial Fraction

Example  หาค่า
  • เริ่มแรกให้ตรวจสอบ เลขยกกำลังของเศษกับส่วนก่อน
  • โดยมีข้อแม้ว่า เลขยกกำลังของเศษ ต้องน้อยกว่า ส่วนเท่านั้น จึงจะสามารถใช้วิธี Partial Fraction ได้
  • ดูแล้ว เลขยกกำัลังของเศษ เท่ากับ ส่วนพอดี
  • ต้องเอามาหารแล้วแหละ
  • ทวนความจำให้หน่อย สำหรับคนที่ลืมวิธีหารไปแล้ว
  • ทำคล้ายๆกับอย่างงี้อะ
  • เพราะฉะนั้น
  • ไม่เชื่อลองคูณกลับ เพื่อตรวจสอบดูซิ
 
  • ได้โจทย์เป็น
  • กระจาย อินทริเกรต เข้า +, - ได้
  • อันหน้า อินทริเกรต ได้อยู่แล้วไม่ต้องไปสนใจ ปล่อยไว้เฉยๆ ก่อน
  • ที่ต้องสนใจคือ อันนี้แหละครับ ที่ต้องเอามาำทำต่อด้วย วิธี Partial Fraction
 
  • อันนี้เข้ากรณีที่ 1 คือ ตัวประกอบกำลัง 1 ที่ไม่ซ้ำกัน
  • อธิบายเพิ่มเติม
    เพราะว่า (x-1) และ (x+1) ไม่เหมือนกัน แต่ถ้าเป็น (x-1) และ (x-1) จะเข้ากรณีที่ 2 คือ ตัวประกอบกำลัง 1 ที่ซ้ำกัน
 
  • ถึงตอนนี้ ส่วนซึ่งก็คือ (x-1)(x+1) ของทั้งสองฝั่ง เท่ากันแล้ว
  • ก็ไม่ต้องไปสนใจส่วน ให้มาสนใจที่เศษ(ตัวบน)
  • คูณกระจาย
  • จับพวกเดียวกันเองมาอยู่ด้วยกัน คือพวกมี x ติดตัว กับ พวกไม่มี x ติดตัว
  • หลังจากนั้นก็จับกลุ่มให้ด้วย โดยการใส่วงเล็บให้เห็นกันชัดๆ ไปเลย
  • ทำอย่างไรถึงจะให้สองฝั่งของสมการเท่ากัน
  • หน้าที่เราคือหาค่า A, B เพื่อให้สองฝั่งของสมการเท่ากัน
  • มีอยู่ 2 วิธี จะแสดงให้ดูเป็นตัวอย่าง ส่วนใครชอบวิธีไหนก็แล้วแต่ศรัทธาก็แลัวกัน
 
  • วิธีแรก
  • ใ้ช้การเทียบสัมประสิทธ์
  • จับสัมประสิทธ์ ตัวที่มี x มาชนกัน และ สัมประสิทธ์ ตัวที่ไม่มี x มาชนกัน
  • เน้นว่าเป็นสัมประสิทธ์นะ

  • ต่อไปก็ แ้ก้สมการ ไม่มีอะไรมาก
  • (1)-(2)

 

  • รู้ค่า B แล้ว A ก็ไม่ใช่เรื่องยาก
  • เอาค่า B ไปแทนในสมการ(1) หรือ (2) ก็ได้
  • ในที่นี้จะแทนในสมการที่ (1)
 

  • วิธีที่สอง
  • ใช้สมการนี้
  • หลักการคือ เลือกค่า x ที่ทำให้ ไม่ A ก็ B หายไป
  • เอ้างง ? ดูวิธีเลยดีกว่า
  • ให้ (เพื่อให้ A หาย)
 
  • แหมะ เห็นป่าวครับว่า A หายไป เพราะว่า คูณด้วย 0
  • ให้ x=1 (เพื่อให้ B หาย)
 
  • ยังไม่เสร็จนะ
  • เดี่ยวจะสรุปย้อนตั้งแต่ต้นให้
 
  • Step แรกเปลี่ยนสมการ เนื่องจาก เลขยกกำลัง เ่ท่ากัน
  • แยก Partial Fration
  • หา A, B ไม่ว่าจะใช้วิธีใด ระหว่าง 2 วิธีที่แสดงให้ดู ก็ได้
  • ที่ทำมาทั้งหมดทำถึงแค่ step นี้เอง
 
  • กระจาย อินทริเกรต
  • ดึงค่าคงที่ออกมาข้างนอก อินทริเกรต
  • ถ้าลืมวิธีทำก็ลองกลับไปทวนของเก่าละกันนะ
  • ดึง c ข้างในออกมาเป็น c เดียว
Other Questions
หาค่า
Find
Author: Surachai U.
Created Date: 2007-08-28 23:59:00
Last Update: 2007-08-29 00:59:00

Comment: 7

ขอบคุนงับ อนุโมทนาบุญด้ยครับ

elec
2010-06-28 01:37:47

Comment: 6

ขอบคุงคับได้ปรโยชน์มากมาย

Engineer
2010-04-24 12:36:03

Comment: 5

ขอบคุณมากเลยค่า

เข้าใจขึ้นเยอะเลย

ไอบะกะ
2009-09-15 10:48:07

Comment: 4

ขอบคุณครับ เข้าใจขึ้นเยอะเลย

blueberry
2008-12-20 09:14:12

Comment: 3

ดีครับ เข้าใจเยอะเลย

CPE18
2008-02-19 21:57:19

In algebra, the partial fraction decomposition or (partial fraction expansion) is used to reduce the degree of either the numerator or the denominator of a rational function. The outcome of partial fraction expansion expresses that function as a sum of fractions, where: * the denominator of each term is a power of an irreducible (not factorable) polynomial and * the numerator is a polynomial of smaller degree than the denominator. See partial fractions in integration for an account of their use in finding antiderivatives. They are also used in calculating the inverse of transforms; such as the Laplace transform, or the Z-transform. Just which polynomials are irreducible depends on which field of scalars one adopts. Thus if one allows only real numbers, then irreducible polynomials are of degree either 1 or 2. If complex numbers are allowed, only 1st-degree polynomials can be irreducible. If one allows only rational numbers, then some higher-degree polynomials are irreducible.