The method of integration can be traced back to the Egyptians, in the Moscow Mathematical Papyrus circa 1800 BC, which gives the formula for finding the volume of a pyramidal frustrum.[1] Greek geometers are credited with a significant use of infinitesimals. Democritus is the first person recorded to consider seriously the division of objects into an infinite number of cross-sections, but his inability to rationalize discrete cross-sections with a cone's smooth slope prevented him from accepting the idea. At approximately the same time, Zeno of Elea discredited infinitesimals further by his articulation of the paradoxes which they create. Antiphon and later Eudoxus are generally credited with implementing the method of exhaustion, which made it possible to compute the area and volume of regions and solids by breaking them up into an infinite number of recognizable shapes. Archimedes developed this method further, while also inventing heuristic methods which resemble modern day concepts somewhat. (See Archimedes' Quadrature of the Parabola and Archimedes on Spheres & Cylinders.) It was not until the time of Newton that these methods were made obsolete. It should not be thought that infinitesimals were put on rigorous footing during this time, however. Only when it was supplemented by a proper geometric proof would Greek Mathematicians accept a proposition as true. (See Archimedes' use of infinitesimals.) The method of exhaustion was rediscovered in China by Liu Hui in the 3rd century AD, who used it to find the area of a circle. It was also used by Zu Chongzhi in the 5th century AD, who used it to find the volume of a sphere.[1]

Integration by Partial Fraction

Example  หาค่า
  • เลขยกกำลังทั้งหมดของ ส่วน มากกว่า เศษ
  • ผ่านเงื่อนไขแรก เพราะฉะนั้นทำด้วยวิธี Partial Fraction ได้เลย
 
  • ก่อนอื่นต้องถ้าจะทำเรื่อง Partial Fraction ต้องอ่านโจทย์ให้ขาดนะครับ ว่าจะแยกด้วยเงื่อนไขใดได้บ้าง ถ้าจำไม่ได้ก็กลับไปดูเนื้อหาได้
  • ถามมองออกก็จะรู้ว่า มี 2 ก้อนที่ต้องแยกคือ x,
  • โดย x จะเข้า กรณีที่ 1 คือ กำลัง 1 ไม่ซ้ำ
  • ส่วน จะเข้ากรณี 2 คือกำลัง 1 ซ้ำ
  • ทำส่วนให้เท่ากัน
  • ส่วน เท่ากันแล้วก็ไ่ม่ต้องสนใจ ให้มา focus ที่เศษ
  • หาค่า A, B, C
  • อย่างที่เคยเกรินไปก่อนหน้านี้แล้ว ว่ามีวิธีหาค่า A, B และ C 2 วิธี
  • แต่ดูๆไปแล้วข้อนี้น่าจะทำด้วยวิธีเลือกค่า x ที่ืทำให้ตัวที่ไม่ต้องการหายไป
 
  • ให้ x=1 เพื่อให้ A, B หาย
  • แทน x=1 ลงในสมการนี้
 
  • ให้ x=0 เพื่อให้ B, C หาย
  • แทน x=0 ลงในสมการนี้
 
  • ต่อไปก็เหลือหา B แต่ว่าไม่รู้จะกำหนดให้ x เป็นเท่าไรถึงทำให้ A และ C หายพร้อมกัน
  • หาไม่ได้ก็ไม่เป็นไร เพราะรู้ค่า A, C แล้ว จะหาแค่ B จะไ่ม่ได้เชียวหรือ
  • ให้ x เป็นอะไรก็ได้ และก็นำค่า A, C แทนลงไปด้วยเลย
  • แทน x=2 ลงในสมการนี้ และ A=4, C=5 ด้วย
 
 
 
 
  • ได้มาครบและ A=4, B=-3, C=5
 
 
 
  • กระจาย Integrate เข้า +, -
  • ดึงค่าคงที่ออกมา
  • จัดการอินทริเกรต
  • แต่อันนี้ง่ายนะไม่ทำให้ดู น่าจะผ่านมาตั้งแต่ basic integrate แล้วนะ
 
  • จากที่ผ่านมาจะเห็นว่า ความยากของโจทย์เรื่อง Partial Fraction จะอยู่ที่การเปลี่ยนโจทย์ตรงนี้ มากกว่าการอินทริเกรต หลังจากการเปลี่ยนโจทย์แล้ว หนะคราบ
 
Other Questions
หาค่า
Find
Author: Surachai U.
Created Date: 2007-08-31 00:46:00
Last Update: 2007-08-31 01:46:00

Comment: 2

ชอบ มาก เลย ค่ะ


อธิบาย ดี มากกกก!!!

TANGMO
2010-02-25 13:47:35

Comment: 1

ไม่ค่อยเคลียพอมาอ่าน แจ่มขึ้นครับ อธิบายดีมากๆ อยากได้ข้อสอบเยอะๆไว้ทำ

yai zaa
2008-06-26 17:52:54

In algebra, the partial fraction decomposition or (partial fraction expansion) is used to reduce the degree of either the numerator or the denominator of a rational function. The outcome of partial fraction expansion expresses that function as a sum of fractions, where: * the denominator of each term is a power of an irreducible (not factorable) polynomial and * the numerator is a polynomial of smaller degree than the denominator. See partial fractions in integration for an account of their use in finding antiderivatives. They are also used in calculating the inverse of transforms; such as the Laplace transform, or the Z-transform. Just which polynomials are irreducible depends on which field of scalars one adopts. Thus if one allows only real numbers, then irreducible polynomials are of degree either 1 or 2. If complex numbers are allowed, only 1st-degree polynomials can be irreducible. If one allows only rational numbers, then some higher-degree polynomials are irreducible.