Theorem. Let be a function that is continuous on a closed interval [a, b] and differentiable on the open interval (a, b) .

ทฤษฏี. f เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องในช่วงปิด [a, b] และ สามารถหาค่า diff ไ้ด้ในช่วงเปิด (a, b)

1. if for every value of x in (a, b) then is incresing on [a, b].
   แทนค่า x ในสมการอนุพันธ์ลำดับที่ 1 แล้วได้ค่า มากกว่า 0 ดังนั้น f เป็นฟังก์ชัน เพิ่ม
   
   
2. if for every value of x in (a, b) then is decresing on [a, b].
   แทนค่า x ในสมการอนุพันธ์ลำดับที่ 1 แล้วได้ค่า น้อยกว่า 0 ดังนั้น f เป็นฟังก์ชัน ลด
   
3. if for every value of x in (a, b) then is constant on [a, b].
   แทนค่า x ในสมการอนุพันธ์ลำดับที่ 1 แล้วได้ค่า เท่ากับ 0 ดังนั้น f เป็นฟังก์ชัน คงที่
   
   

Theorem. Let be twice differentiable on an open interval
ทฤษฏี. f เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ขั้นสองได้ในช่วงเปิด I

1. if for every value of x in , then is concave up on .
   ถ้าแทนค่า x (ภายในช่วงเปิด I) ในสมการอนุพันธ์ลำดับที่ 2 แล้วได้ค่า มากว่า 0 ดังนั้น ช่วงนั้นๆเส้นโค้งเว้า หงาย
   
2. if for every value of x in , then is concave up on .
   ถ้าแทนค่า x (ภายในช่วงเิปิด I) ในสมการอนุพันธ์ลำดับที่ 2 แล้วได้ค่า น้อยกว่า 0 ดังนั้น ช่วงนั้นๆเส้นโค้งเว้า คว่ำ
   

Theorem. (Second Derivative Test). Suppose that f is twice differentiable at the point.
ทฤษฏี. กำหนดให้ f สามารถหาอนุพันธ์อันดับ 2 ได้ที่จุดนั้นๆ (การทดสอบด้วยอนุพันธ์อันดับ 2)

1. if and , then has a relative minimum a .
   หา่ค่า ที่แทนค่าลงในอนุพันธ์ลำดับที่ 1 แล้วไ้ด้ 0, จากนั้นให้นำ แทนค่าลงในอนุพันธ์ลำดับที่ 2 ถ้าได้ค่า มากกว่า 0 แล้ว f เป็น ต่ำสุดสัมพัทธ์ ที่
2. if and , then has a relative maximum a .
   หา่ค่า ที่แทนค่าลงในอนุพันธ์ลำดับที่ 1 แล้วไ้ด้ 0, จากนั้นให้นำ แทนค่าลงในอนุพันธ์ลำดับที่ 2 ถ้าได้ค่า น้อยกว่า 0 แล้ว f เป็น สูงสุดสัมพัทธ์ ที่
3. if and , then the test is inconclusive; that is, may have a relative maximum, a relative minimum, or neither at .
   หา่ค่า ที่แทนค่าลงในอนุพันธ์ลำดับที่ 1 แล้วไ้ด้ 0, จากนั้นให้นำ แทนค่าลงในอนุพันธ์ลำดับที่ 2 ถ้าได้ค่า เท่ากับ 0 แล้ว f เป็น จุดเปลี่ยนเว้า ที่

ขั้นตอนการเขียนกราฟ Rational Function

1. พิจารณาลักษณะสมมาตร(Symmetry)
   • สมมาตรกับแกน x : หาได้จากการแทนค่า y ด้วย -y ลงในสมการแล้วสมการคงเดิม
   • สมมาตรกับแกน y : หาได้จากการแทนค่า x ด้วย -x ลงในสมการแล้วสมการคงเดิม
   • สมมาตรกับจุดกำเนิด (origin) : หาได้จากการแทนค่า x ด้วย -x และ y ด้วย -y ลงในสมการแล้วสมการคงเดิม
2. หาจุดตัดบนแกนพิกัด (X-Intercepts, Y-Intercepts)
   • หาจุดตัดแกน x : โดยให้แทนค่า y=0 แล้วแก้สมการหาค่า x
   • หาจุดตัดแกน y : โดยให้แทนค่า x=0 แล้วแก้สมการหาค่า y
3. หาเส้นกำกับแนวดิ่ง (Vertical Asymptote)
   • หาค่า x ที่ทำให้ (ส่วนเท่ากับ 0)
4. หาเส้นกำกับแนวราบ (Horizontal Asymptote)
• เส้นกำกับแนวราบคือ y=L
5. หาช่วงที่เส้นโค้งเพิ่ม และ ช่วงที่เส้นโค้งลด
   • เส้นโค้งเพิ่ม
   • เส้นโค้งลด
6. หาช่วงที่เส้นโค้งเว้าคว่ำ และ ช่วงที่เส้นโค้งเว้าหงาย
   • เส้นโค้งเว้าหงาย
   • เส้นโค้งเว้าคว่ำ
7. หาจุดที่ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และ จุดที่ให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ และ จุดเปลี่ยนเว้า
   • และ จุดต่ำสุดสัมพัทธ์
   • และ จุดสูงสุดสัมพัทธ์
   • และ จุดเปลี่ยนเว้า